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Skalarprodukt

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Wichtige Inhalte in diesem Video

Skalarprodukt einfach erklärt

Skalarprodukt berechnen

Rechter Winkel zwischen den Vektoren

Länge eines Vektors

Winkel zwischen den Vektoren

Du möchtest wissen, was das Skalarprodukt ist und wie du es berechnest? Hier und im Video erklären wir es dir Schritt für Schritt!

Inhaltsübersicht

Skalarprodukt einfach erklärt

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Das Skalarprodukt ist ein Produkt aus zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ . Um es zu bilden, multiplizierst du die einzelnen Komponenten der Vektoren miteinander. Anschließend addierst du die Produkte.

$\vec{a} \circ \vec{b} =\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{a_1} \\ \textcolor{magenta}{a_2} \\ \textcolor{teal}{a_3}\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{b_1} \\ \textcolor{magenta}{b_2} \\ \textcolor{teal}{b_3} \end{array}\right) = \textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{b_1} + \textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} + \textcolor{teal}{a_3} \cdot \textcolor{teal}{b_3}$

Das Ergebnis ist eine reelle Zahl — auch Skalar genannt. Wichtig ist, dass du das Skalarprodukt nur mit gleich großen Vektoren berechnen kannst. Beide Vektoren müssen also dieselbe Anzahl an Komponenten haben.

Übrigens: Für das Skalarprodukt gibt es verschiedene Schreibweisen: $\vec{a} \circ \vec{b}$ , $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , $<\vec{a},\vec{b}>$

Skalarprodukt berechnen

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Schauen wir uns an ein paar Beispielen an, wie du das Skalarprodukt der zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnest.

Skalarprodukt — Zwei Komponenten

Vektoren in der Ebene bestehen immer aus nur zwei Komponenten. Beispielsweise hast du folgende Vektoren gegeben:

$\vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-2} \\ \textcolor{magenta}{-1} \end{array}\right)$ ,

$\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{magenta}{0} \end{array}\right)$

Um das Skalarprodukt $\vec{a} \circ \vec{b}$ zu bilden, multiplizierst du zuerst die beiden Vektoren komponentenweise miteinander:

$\textcolor{blue}{a_1} \cdot \textcolor{blue}{b_1} = (-2) \cdot 3 = -6$ ,

$\textcolor{magenta}{a_2} \cdot \textcolor{magenta}{b_2} = (-1) \cdot 0 = 0$

Anschließend addierst du die Produkte: (-6) + 0 = -6

Das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ beträgt also -6.

Skalarprodukt — Drei Komponenten

Im Raum besitzen Vektoren drei Komponenten. Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sehen jetzt z. B. so aus:

$\vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{0,5} \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{magenta}{-1,5} \\ \textcolor{teal}{-1} \end{array}\right)$

Die Berechnung bleibt aber dieselbe. Du multiplizierst jeweils die Komponenten und addierst schließlich die Produkte:

$\begin{align*} \vec{a} \circ \vec{b} &= \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-1} \\ \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{teal}{0,5} \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{magenta}{-1,5} \\ \textcolor{teal}{-1} \end{array}\right) \\ &= \textcolor{blue}{(-1)} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{magenta}{3} \cdot \textcolor{magenta}{(-1,5)} + \textcolor{teal}{0,5} \cdot \textcolor{teal}{(-1)} \\ &= \textcolor{blue}{(-2)} + \textcolor{magenta}{(-4,5)} + \textcolor{teal}{(-0,5)} = -7 \\ \end{align*}$

Auch hier ist das Skalarprodukt eine reelle Zahl, nämlich -7.

Skalarprodukt Vektoren — Verwendung

Mit dem Skalarprodukt kannst du verschiedene Eigenschaften über Vektoren herausfinden. Zum Beispiel, in welchem Winkel die Vektoren zueinander stehen oder wie lang ein Vektor ist. Im Folgenden schauen wir uns das einmal genauer an.

Rechter Winkel zwischen den Vektoren

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Ist das Skalarprodukt von zwei Vektoren gleich 0, sind sie orthogonal zueinander. Das heißt, sie bilden zusammen einen rechten Winkel (90°). Es gilt also:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 0$ → $\vec{a} \perp \vec{b}$

Zum Beispiel hast du folgende Vektoren:

$\vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-2} \\ \textcolor{magenta}{6} \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-3} \\ \textcolor{magenta}{1} \end{array}\right)$

Das Skalarprodukt von beiden Vektoren sieht so aus:

$\vec{a} \circ \vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{-2} \\ \textcolor{magenta}{6} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{magenta}{1} \end{array}\right) = \textcolor{blue}{(-2)} \circ \textcolor{blue}{3} + \textcolor{magenta}{6} \cdot \textcolor{magenta}{1} = (-6) + 6 = 0$

Da der Skalar 0 ist, sind es zueinander orthogonale Vektoren.

Länge eines Vektors

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Mit dem Skalarprodukt kannst du auch die Länge eines Vektors bestimmen. Denn für die Länge eines Vektors gilt:

Zwei Komponenten: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
Drei Komponenten: $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Um also die Länge des Vektors $\vec{a}$ zu berechnen, bildest du das Skalarprodukt aus dem Vektor mit sich selbst. Anschließend ziehst du daraus die Wurzel.

Beispielsweise hast du den Vektor $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{magenta}{4} \\ \textcolor{teal}{-2} \end{array}\right)$

Dafür berechnest du als Erstes das Skalarprodukt:

$\vec{a} \circ \vec{a} = \textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{magenta}{4} \cdot \textcolor{magenta}{4} + \textcolor{teal}{(-2)} \cdot \textcolor{teal}{(-2)} = 29$

Nun musst du nur noch die Wurzel ziehen und du bekommst die Länge:

$|\vec{a}| = \sqrt{29} = 5,39$

Der Vektor hat also eine Länge von 5,39 LE (Längeneinheiten).

Winkel zwischen den Vektoren

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Zwei Vektoren schließen zusammen immer einen Winkel ein. Den kannst du ebenfalls mithilfe des Skalarprodukts berechnen. Für den Winkel zwischen Vektoren gilt nämlich:

$\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

Das Skalarprodukt entspricht also dem Produkt aus den Längen der Vektoren und dem Cosinus des Winkels, den sie einschließen. Durch Umformung erhältst du die Formel für den Winkel $\theta$ :

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\theta = \cos^{-1}(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|})$

Wichtig: Der Winkel zwischen zwei Vektoren hat immer einen Wert zwischen 0° und 180°.

Winkel zwischen zwei Vektoren, Skalarprodukt — Winkel zwischen zwei Vektoren

Sieh dir dazu ein Beispiel an:

Du hast die beiden Vektoren $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{magenta}{1} \end{array}\right)$ und $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} \textcolor{blue}{1} \\ \textcolor{magenta}{-2} \end{array}\right)$

Um den Winkel $\theta$ zu berechnen, bildest du wieder erst das Skalarprodukt der beiden Vektoren:

$\vec{a} \circ \vec{b} = \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{magenta}{1} \cdot \textcolor{magenta}{(-2)} = 4 + (-2) = 2.$

Als Nächstes berechnest du die Längen der Vektoren:

$|\vec{a}| = \sqrt{\textcolor{blue}{4^2} + \textcolor{magenta}{1^2}} = \sqrt{17}$

$|\vec{b}| = \sqrt{\textcolor{blue}{1^2} + \textcolor{magenta}{(-2)^2}} = \sqrt{5}.$

Nun setzt du die Werte in die umgeformte Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{2}{ \sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} =0,22$

$\theta = \cos^{-1}(0,22) = 77,29^{\circ}$

Tipp: Wenn das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}}$ > 0 ist, handelt es sich um einen spitzen Winkel ( $\theta$ < 90°). Ist $\vec{a} \circle \vec{b}$ hingegen < 0, ist es ein stumpfer Winkel ( $\theta$ > 90°).

Skalarprodukt berechnen — Aufgaben

Du möchtest die Berechnung des Skalarprodukts und seine Verwendungen direkt üben? Dann haben wir hier ein paar Übungsaufgaben mit Lösungen für dich:

Aufgabe 1: Skalarprodukt Vektoren

Überprüfe, ob die folgenden Vektoren senkrecht zueinanderstehen.

a) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 3 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -6 \\ 2 \end{array}\right)$

b) $\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \\ 6 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 3 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 1

a) Um herauszufinden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, musst du prüfen, ob das Skalarprodukt null ergibt.

$\vec{a} \circ \vec{b} = 1 \cdot (-6) + 3 \cdot 2 = 0.$

Damit stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander.

b) Hier gehst du genauso vor wie im vorherigen Fall, nur mit einer Komponente mehr.

$\vec{a} \circ \vec{b} = 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 6 \cdot 3 = 14$

Die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sind nicht orthogonal.

Aufgabe 2: Skalarprodukt Winkel

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren:

$\vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -8 \\ -1 \end{array}\right)$ , $\vec{b} = \left(\begin{array}{c} 8 \\ -3 \\ 5 \end{array}\right)$

Lösung Aufgabe 2

Um den Winkel zu bestimmen, musst du zuerst das Skalarprodukt und die Längen bestimmen. Dann setzt du die Ergebnisse in die entsprechende Formel ein:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 2 \cdot 8 + (-8) \cdot (-3) + (-1) \cdot 5 = 35$

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{69}$

$|\vec{b}| = \sqrt{8^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{98}$

$\cos(\theta) = \frac{35}{ \sqrt{69} \cdot \sqrt{98}} = 0,43$

$\theta = \cos^{-1}(0,22) = 64,81^{\circ}$

Skalarprodukt — häufigste Fragen

Was ist das Skalarprodukt?
Mit dem Skalarprodukt kannst du zwei Vektoren miteinander multiplizieren, die gleich groß sind. Als Ergebnis erhältst du eine reelle Zahl, auch Skalar genannt. Du berechnest es, indem du zeilenweise das Produkt bildest und anschließend addierst.
Wie berechne ich das Skalarprodukt zweier Vektoren?
Für das Skalarprodukt zweier Vektoren multiplizierst du die Komponenten miteinander, die in einer Zeile stehen. Also a₁ mit b₁ und a₂ mit b₂. Anschließend addierst du beide Produkte und erhältst eine reelle Zahl, die du auch als Skalar bezeichnest.
Wie lautet die Skalarprodukt-Formel?
Die Formel für das Skalarprodukt lautet: a • b = a₁ • b₁ + a₂ • b₂ + … + a_n • b_n. Das heißt, du multiplizierst die einzelnen Komponenten der Vektoren a und b und addierst schließlich die Produkte. Mit der Formel a • b = |a| • |b| • cos(θ) kannst du außerdem den Winkel zwischen beiden Vektoren bestimmen.

Kreuzprodukt/Vektorprodukt

Super, jetzt kennst du dich mit dem Skalarprodukt bestens aus! Eine weitere Art, Vektoren zu multiplizieren, ist das Kreuzprodukt/Vektorprodukt. Hier ist das Ergebnis keine reelle Zahl, sondern ein Vektor. Wie du das Kreuzprodukt berechnest, erklären wir dir hier!

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